Составление выражения для передаточной функции замкнутой системы

Составить выражение для передаточной функции замкнутой системы, исследовать её на устойчивость, используя критерии Гурвица и Михайлова.

Звенья 1, 2 соединены параллельно:

Звенья 3, 4 и 5 соединены последовательно:

Звенья 12, 345 соединены последовательно:

Звенья 6 и 7 соединены параллельно:

С учетом обратной связи:

Таким образом, результирующая передаточная функция замкнутой системы:

Критерий Гурвица:

Для оценки устойчивости применим наиболее распространенный из алгебраических критериев - метод Гурвица. Для этого необходимо найти характеристическое уравнение системы в замкнутом состоянии. Полином знаменателя в выражении, приравненный к нулю. Это и есть характеристическое уравнение системы:

А(p) = a3 · p3 + a2 · p2 + a1 · p + a0 = 0

Согласно критерию Гурвица, для того, чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы при а0 > 0 были положительны все определители Гурвица:

∆1 > 0, ∆2 > 0, …, ∆n > 0,

где n - степень характеристического уравнения системы. В данном случае n = 3, следовательно, должны быть положительны все определители Гурвица до третьего порядка.

Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица по алгоритму:

) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от an до a1;

) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали снизу вверх;

) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше n ставятся нули

Тогда согласно критерию Гурвица:

Так как все определители Гурвица больше 0, система устойчива.

Если характеристическое уравнение заданной САУ записать в виде:

A(ω) = a0 · (jω)n + a1· (jω)n-1 +…+ an-1· jω + an= 0,

то его можно заменить эквивалентной суммой вещественной и мнимой частей, обозначив действительную часть через U (ω), а мнимую - через V (ω):

U(ω) +jV(ω) =А(jω),

где U(ω) = Rе А(jω) = an - an-2 · (ω)2 + ….+an-4· (ω) 4+ a0 · (ω)n ,

V(ω) = Im А(jω) = an-1 - an-3 · ω + ….+an-5 · ω3+ a1 · ωn-1

Для характеристического уравнения исходной САУ аналитические выражения вещественной и мнимой частей имеют вид:

передаточный функция замкнутый гурвиц

А(ω) = 2.729 - 0.5374 · ω2А(ω) = 22.2675 · ω - 0.0163 · ω3.

Изменяя ω в пределах от 0 до ∞, получим кривую - годограф Михайлова. Критерий Михайлова формулируется следующим образом: Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении ω от 0 до начинался на вещественной оси в точке a3 и проходил последовательно против часовой стрелки n квадрантов, не обращаясь в ноль и стремясь к в n-ом квадранте.

Следуя выше приведенному алгоритму, получим годограф Михайлова, представленный на рисунке. Находим значения вещественной и мнимой части.

Лучшие статьи по информатике

Проектирование телевизионного приемника
электрический напряжение приемник телевизионный Цель курсового проекта: закрепить знания, полученные при изучении теоретической части дисциплины, привить навы ...

Расчет основных характеристик усилительного каскада биполярного транзистора
транзистор усилитель каскад Целью данной курсовой работы по предмету “Схемотехника телекоммуникационных устройств” является применение знаний полученных ...

Таймер на микроконтроллере MSP430F2013
Практически в любой современной электронной технике можно найти микроконтроллеры. Столь широкое применение этих микросхем обусловлено чрезвычайно удачным со ...